Matérias > Matemática > Números Complexos

Vestibulares passados

Matérias > Matemática > Números Complexos

3. O conjugado e a divisão

Divisão de números complexos é semelhante à racionalização do denominador de uma fração com radicais. Assim, se temos o quociente nosso objetivo é escrevê-lo na forma a + bi. Para isso, introduziremos inicialmente o conceito de conjugado de um número complexo.

Complexos conjugados

O conjugado de um número complexo a + bi é a - bi, e o conjugado de a - bi é a + bi.

Os números complexos a + bi e a - bi são chamados complexos conjugados.

Para um número complexo z, seu conjugado é representado com ; então, se z = a + bi escrevemos = a - bi.

Exemplos

O conjugado de z = 2 + 3i é = 2 - 3i

O conjugado de z = 2 - i é = 2 + 3i

O conjugado de z = 5i é = - 5i

O conjugado de z = 10 é = 10

Quando multiplicamos um número complexo z = a + bi pelo seu conjugado = a - bi, o resultado que se obtém é um número real não negativo:

z . = (a + bi) . (a – bi)
= a² – abi + abi – b²i²
= a² – b². (-1)	A soma dos quadrados de dois números reais nunca é negativa
= a² + b²

Usamos essa propriedade para expressar o quociente de dois números complexos na forma a + bi.

Dividindo dois números complexos

Para escrevermos o quociente na forma A + Bi, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

Exemplo

Vamos escrever o quociente na forma a + bi.

Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, para obter um número real no denominador.

= i

= 1 – i

« 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 »